Álgebra lineal Ejemplos

$4 x + 7 y = 15$ , $6 x - 5 y = 21$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 7 y = 15$ .

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Paso 1.1

Resta $7 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 15 - 7 y$

$6 x - 5 y = 21$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 15 - 7 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 15 - 7 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} + \frac{- 7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$6 x - 5 y = 21$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x - 5 y = 21$ por $\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ .

$6 (\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $6 (\frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}) - 5 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{15}{4}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{15}{4}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot (3 (\frac{15}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot (3 (\frac{15}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{15}{2}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$3 (\frac{15}{2}) + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina $3$ y $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $3$ por $15$ .

$\frac{45}{2} + 6 (- \frac{7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 y}{4}$ al numerador.

$\frac{45}{2} + 6 (\frac{- 7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{45}{2} + 2 (3) (\frac{- 7 y}{4}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.5.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{45}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 7 y}{2 \cdot 2})) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{45}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 7 y}{2 \cdot 2})) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{45}{2} + 3 (\frac{- 7 y}{2}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45}{2} + 3 (\frac{- 7 y}{2}) - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.6

Combina $3$ y $\frac{- 7 y}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{3 (- 7 y)}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.7

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{45}{2} + \frac{- 21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 5 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} - \frac{21 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45}{2} + \frac{- 21 y - 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 - 21 y - 5 y \cdot 2}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{45 - 21 y - 10 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 2.2.1.7

Resta $10 y$ de $- 21 y$ .

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$\frac{45 - 31 y}{2} = 21$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{45 - 31 y}{2} = 21$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{45 - 31 y}{2} \cdot 2 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$45 - 31 y = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$45 - 31 y = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $45$ y $- 31 y$ .

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 21 \cdot 2$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $21$ por $2$ .

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y + 45 = 42$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $45$ de ambos lados de la ecuación.

$- 31 y = 42 - 45$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3.1.2

Resta $45$ de $42$ .

$- 31 y = - 3$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$- 31 y = - 3$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 31 y = - 3$ por $- 31$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 31 y = - 3$ por $- 31$ .

$\frac{- 31 y}{- 31} = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 31$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 31 y}{- 31} = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{- 3}{- 31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{3}{31}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{15}{4} - \frac{7 y}{4}$ por $\frac{3}{31}$ .

$x = \frac{15}{4} - \frac{7 (\frac{3}{31})}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{15}{4} - \frac{7 (\frac{3}{31})}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{15 - 7 (\frac{3}{31})}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 7 (\frac{3}{31})$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Combina $- 7$ y $\frac{3}{31}$ .

$x = \frac{15 + \frac{- 7 \cdot 3}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$x = \frac{15 + \frac{- 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15 + \frac{- 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{15 - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{15 - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $15$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{31}{31}$ .

$x = \frac{15 \cdot \frac{31}{31} - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.4

Combina $15$ y $\frac{31}{31}$ .

$x = \frac{\frac{15 \cdot 31}{31} - \frac{21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{15 \cdot 31 - 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $15$ por $31$ .

$x = \frac{\frac{465 - 21}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $21$ de $465$ .

$x = \frac{\frac{444}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{\frac{444}{31}}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{444}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $444$ .

$x = \frac{4 (111)}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 111}{31} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

$x = \frac{111}{31}$

$y = \frac{3}{31}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{111}{31}, \frac{3}{31})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{111}{31}, \frac{3}{31})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{111}{31}, y = \frac{3}{31}$

Paso 7